正整数是什么(正整数的意义)

此类问题的解法在第一学段已经学过，从学生的试卷看几乎都用除法计算，这说明学生在低年级关于乘除法的模型的建立还是比较好。但问题就出在“比较好”上，也就是说学生对乘除法的“正整数”模型掌握很好，阻碍了学生对此模型的拓展。如果说责任，责任在教师，如前所述“教师忽视了在后续教学中的关联、更新与重构，造成概念顺应上的“脱节”，使学习效果大打折扣。”这就相当于多年前我总结的“方便面”现象，再复杂的问题换上“方便面”学生也会解决，因为方便面的数量关系简单、数字清晰。

此类问题的存在固然可以从数量关系教学这一角度去分析，但这不应被等同于学生的实际思维过程，只有立足于学生已有的知识经验，探求已有经验对学生产生的影响及数域扩展后给学生带来的乘除法学习障碍，才能真正厘清学生的思维走向，进而对症下药。

毫无疑问，在乘除法教学中，意义的教学是首要的。纵观整个小学阶段，乘除法意义实际上呈现不断发展的特点，这同时又可看成一个更为漫长的发展过程中的一个环节。从宏观的角度看，二年级的乘除法意义学习阶段性十分明显，教师无疑会限于并强调“同数连加”的意义，这时学生所形成的内在表征就会有较大的局限性。特别是，由于学生在开始学习乘除法时所接触到的都是比较简单的情况，也即主要局限于正整数的乘除，从而就很容易形成以下的观念：“乘法总是使数变大，除法则总是使数变小；乘除法中各部分都是整数。”到了第二学段，数概念得到了进一步扩展，此时教师更多计算本身，对于乘除运算意义一般都只是寥寥数语带过，或简单地以“与整数乘除法意义相同”走过场，而恰恰忽视了乘除运算意义在新数域的推广过程及所获得的新的含义，以乘法为例，增加了“已知整体求部分”，如“6的2倍是多少？”，相应的除法则是“求取整体”，即如“已知一个数的2倍是4，求这个数？”

显然，从这样的角度去分析，前面所提及的错误的发生也就不足为奇了，因为，这在很大程度上反映了这样的现实：学生依据直觉意识到应该用除法计算，而且每天的“千米数”也应该是整数。按照他们已建立的观念，选择了除法。在学生头脑中的乘除法各部分应是整数，所以不假思索大数除以小数。

事实上，以上尽管通过分析学生思维找到了其错误的根源，但我们也应看到这种错误的“合理性”，站在学生的角度，他们不过是将仅仅适用于正整数乘除的某些“规律”错误地推广到了小数的情况，这当然应当被看成学生思维发展的一个必然过程。关键是，作为教师应清楚地认识学生在乘除法意义学习中的局限性和困难，采取适当的措施引导学生较为自觉地去实现对乘除法意义的必要的推广与更新。

（二年级上册教师用书134页）格里尔在“作为情境模型的乘除法”一文中指出：为了使纯形式的推广在直观上能够被接受，必须辅以一些具体情境，在其中所说的推广可以被认为十分必要和完全合理的。对于乘除法意义本身而言，其内容是很枯燥的，但它植根于现实的沃土，意蕴丰富。

在小学阶段，乘除法的现实模型大致有以下几种：

①等量组的聚集。即通常所说的“连加”。在这一情境下，两个因数的地位并不完全对称（单位不相同），也就是过去所说的“每份数”、“份数”。从而，也就有两种不同的除法逆运算，即通常所说的“平均分”、“包含除”。二年级初步认识乘法时，教材不强调乘的顺序。我觉得这是不妥的，要从开始认识乘法时就给学生严谨的印象，而不是怎么乘都行，当然这和单独乘法运算不同，这时的乘法是有“故事”的。

②倍数问题。如“某种饮料中水的含量是果汁含量的3倍，现有果汁20千克，问需加配多少千克的水？”

③配对问题。如“4个男孩与3个女孩出去游玩，如果选出1个男孩与1个女孩外出购物，问一共有多少种选取方法？”这也是“搭配问题”。搭配问题也就是乘法问题，并非简单列举得到答案即可。搭配问题的乘法模型是“几个几”，即分几组、每组几个。

④长方形的面积。如“已知长方形长10厘米，宽是3厘米，问长方形的面积是多少？”

按照格里尔的观点，在后两种情况下，两个因数的位置是完全对称的。还有研究者将乘法模型概括为：等量组的聚集、矩形模型、配对模型和倍数模型，并认为最基本的是第一种模型，其他几种都可以转化为第一种。此外，还有速度——时间模型、单价——数量模型工作效率——时间模型、密度——体积模型。

这几种原型在第一学段均已出现，但在学生头脑中的印象是浅显的、零散的，仅限于正整数，且并未形成对乘法意义的阶段性完整认识。随着学生数概念的发展，相应的乘法意义应与其相互促进。在教学中，教师仍应努力丰富学生头脑中的乘除法意义原型，提高其对意义的表征能力。

在五年级上册“小数乘法”单元，教师可以设计这样的问题：请用你喜欢的情境表达“1.3×5”的意义（“新课程标准”非常提倡这样的训练，从一年级开始就建议老师进行这方面的训练。在2015年期末考试时，我出了一道这样的试题：用图形表示“6＋3”，儿童虽然表示的五花八门，但都能突出“合起来”这一结构性特点）。

对于如何表示“1.3×5”的意义，经过充分的思考、讨论、交流，学生会产生很多想法：如购物、长度、质量、面积等数学问题，如画实物图或线段图，如用文字或加法算式直接说明。

学生的表现形式会有一个从单一到丰富的过程，这也从不同角度反映了不同个体对乘法意义在小数域中的认识表征。此时，教师要相机地引导学生对作品进行归类，寻找异同，理解作品背后所表示的意义。学生在整理后会发现：1.3×5既可以表示5个1.3（等量组的聚集），也表示5的1.3倍或1.3的5倍（倍数问题），还可以用在面积计算中等。也正是在这样的交流共享中，学生原先停留在正整数领域中的乘法意义有了进一步的发展，在丰富的原型中体会到乘法意义在小数领域的本质推广与延伸。

建构主义认为，对于学生在概念学习中发生的错误不应单纯依靠正面的示范和反复练习去纠正，而应以引发主体内在的“观念冲突”为必要前提，使其经历“自我否定”的过程。高年级学生正处于形象思维向抽象思维发展的过渡阶段，已经具备一定的思考能力，如果教师只是简单地将乘除法意义“教”给学生，缺少学习主体的自我内化过程，那么概念的发展就如浮光掠影。因此，教师应创设能引发学生概念冲突的情境，引导学生主动对先前的乘除法意义的认识作出必要的调整，将新的含义悦纳到已有的知识体系中。

以分数乘法的教学为例，教师在教学中可出现这样一组情境：

①我的绳子长1/3米，小明的绳长是我的3倍，小明的绳子有多长？

②我的绳子长3米，小明的绳长是我的1/3，小明的绳子有多长？

引导学生通过画图、讨论得出算式，反馈时，教师适时追问：都是1/3×3，表示的意义相同吗？这就引发学生的思维冲突：如果说第一题可用“3个1/3”解释，那么后一题显然不能，这题的意义又该怎样表述？这样，在对同一算式不同含义的挖掘中，学生很直接地感受到只用以前的“同数连加”的乘法意义已不足以解释分数乘法出现的新问题，产生了认知冲突，有了扩展新含义的需要。

在此基础上，教师及时引导学生对第二题的算式意义进行研究，注意其发展变化。并指出在引入分数以后，“倍”的概念发展了，既包含了原来的“整数倍”、“小数倍”，也包括了这节课所学的“一个数的几分之几是多少”。这样，学生经历了“冲突——建构——顺应”的学习过程，新概念的融入便不再是教师强加，而是主动的更新与顺应。

学生在数域扩展后，容易将在整数乘除法意义学习中的一些“规律”错误地推广到小数、分数乘除法学习中，繁杂的数据构成了学生在学习小数、分数乘除法中的一大障碍。面对新题目，学生往往更多地情境中所包含的数量，而不注意其中的文字内容，以及内容背后的运算意义。对此，教师不妨立足学生的思维方式，化繁为简，抓住本质，以此修正认识误区。

基于这样的思考，以分数的除法意义教学为例，教材在编排中已经考虑到了学生的学习困难，采用由整数乘除法改编数据后过渡到分数乘除法的方式，帮助学生理解“分数除法的意义与整数除法的意义相同”，即“分数除法是分数乘法的逆运算”。从表面上看，学生通过旧有知识已经促成了新知理解，而事实上，学生此时的理解仅仅是在特定题组中的，脱离题组这根“拐杖”，学生又会受到数据的干扰。因此，教师要紧接着出示这样一组题，可以要求学生只列式不计算：

①把10平均分成2份，每份是多少？

②10里面有几个1/5?

③10是2的几倍？

④一个数的1/5是8，这个数是多少？

⑤两个因数的积是20，其中一个因数是4/5，另一个因数是几？

可以发现，这组题虽然脱离了具体的情境，但都直指除法意义本身。在学生列式后，教师追问：你是凭什么选择用除法计算的？是否用除法计算，与题目中的数据有关吗？这时，学生就会走出情境，思考题目背后的意义，思考自己选择的初衷。“分数除法的意义与整数除法相同”，但具体表现在哪些地方呢？“平均分”、“包含除”、“倍数问题逆运算”、“已知部分求整体”等，这些都是除法意义在具体问题中的结构本原。学生知道了这一点，也就能避开数据产生的干扰，而更于问题本身的含义，将视角从“数据”转换到“意义”中来，进而，在面对复杂的情境、复杂的数据时，能以运算意义为依托，将问题简化。

小学阶段乘除法意义的教学应着力在阶段性与发展性之间寻求平衡。换言之，对于任何数学概念的教学，教师都要立足于学生的思维状态，其对概念的不断更新、发展、重构，及时排除概念发展中的障碍，从而达成概念教学效果的最大化。